1. Пространство и время: понятия, свойства, процедуры количественного описания Понятия пространства и времени - страница 30




^ § 1. Релятивистский закон преобразования скоростей и ускорений Преобразование скоростей в релятивистском случае.
Преобразование ускорений в релятивистском случае.
Продольная и поперечная составляющие ускорения.


Ускоритель заряженных частиц. Лаборатория Э. Ферми (США). Длина окружности главного кольца ускорителя
6.3 км.
Фото IGDA/Fermilab.

^ Преобразование скоростей. Пронаблюдаем за движением частицы относительно двух различных ИСО. Пусть СО S движется относительно системы S' слева направо со скоростью V. Обозначим за  и ' скорости частицы в системах S и S' соответственно и попытаемся найти связь между ними. Для этого сначала продифференцируем уравнение (15.9) из системы преобразований Лоренца:

.    (16.1)

Затем разделим левую и правую части этого выражения на dt и, воспользовавшись определением мгновенной скорости, получим выражение для расчета проекции скорости частицы на ось OX в системе S.

.   (16.2)

Отношение dt'/dt найдем путем дифференцирования уравнения (15.11) системы преобразований Лоренца: 

;   (16.3)

.   (16.4)

Исходя из выражений (16.2) и (16.4), получим закон преобразования проекций скоростей на ось OX при переходе от рассмотрения движения частицы в одной ИСО к рассмотрению этого движения относительно другой ИСО:

 .   (16.5)

Проведя аналогичные выкладки для проекций скоростей на оси OY и OZ, получим:

;   (16.6)

;   (16.7)

.    (16.8)

Уравнения (16.5), (16.7) и (16.8) представляют собой закон преобразования скоростей в релятивистском случае. 

Этот закон соответствует постулатам специальной теории относительности, а именно:



если проекции скоростей на оси координат постоянны в одной СО, то они постоянны и в другой. Другими словами, частица, движущаяся равномерно прямолинейно в какой-либо ИСО, будет двигаться таким же образом в любой другой ИСО;



в случае равенства любой из этих проекций скорости света (например, 'x = c или 'y = c) соответствующая проекция скорости частицы в другой ИСО будет также равна c.



 

^ Преобразование ускорений. Пусть две произвольные ИСО движутся друг относительно друга, как в предыдущем случае, но сама частица движется с ускорением. Обозначим за a ускорение частицы в системе S, а за  a' - ее ускорение в системе S'. Найдем связь между проекциями вектора ускорения на оси координат в этих ИСО. 

Продифференцировав уравнение (16.5), а затем разделив его на dt и учтя соотношение d'x/dt = (d'x/dt')·dt'/dt  и выражение (16.4), получим следующие равенства: 

;     (16.9)

.    (16.10)

Рассмотрим частицу в тот момент времени, когда она покоится относительно системы S'. Такую систему назовем сопровождающей СО. Для этой системы вместо уравнения (16.10) получим более простое выражение:

ax = (1 - β2)3/2∙a'x.     (16.11)

Проведя аналогичные вычисления для проекций скоростей на направления, перпендикулярные скорости движения собственной СО, можно доказать, что выполняются следующие равенства:

ay = (1 - β2)1/2∙a'y, az = (1 - β2)1/2∙a'z.     (16.12)

Таким образом, составляющие ускорения вдоль направления движения собственной СО и в перпендикулярном ему направлении изменяются по-разному.

Уравнения (16.11) и (16.12) представляют собой закон преобразования продольной и поперечной составляющих ускорения для сопровождающих СО.

Из закона преобразования ускорений вытекают важные следствия:



если частица движется без ускорения в одной ИСО, то она движется без ускорения в любой другой ИСО;



продольная ax и поперечная (ay и az) составляющие ускорения при переходе от рассмотрения движения в произвольной ИСО к рассмотрению движения в сопровождающей СО изменяются в (1- и (1- раз соответственно.



5463031327304771.html
5463133390266824.html
5463189082461545.html
5463232939923094.html
5463316826948306.html